Izbornik
Glavna poglavlja:
- Svrha bloga
- Logika kroz povijest
- Pojmovna logika
- Propozicijska logika
- Predikatna logika
- Logika 2. reda
Igralište
Logika za početnike
3. Uvod u logiku
Predikatna logika ili logika 1. reda
Autor: Nikola Vujačić
Predikatna logika ili logika 1. reda ili priročna logika uključuje najbolje iz svijeta pojmovne logike i propozicijske ili iskazne logike. Dakle, predikatna logika obraća pozornost na odnos između pojmova ali zadržava matematičnost, kalkulativnost i simbolizam iskazne logike.
Predikatna logika u centar promatranja stavlja odnos predikata (predikatnog skupa) i subjekta
Primjer:
Ljudi su dobri, predikatnim jezikom iskazujemo na sljedeći način:
Dobri(ljudi)
Ljudi su dobri prijatelji, predikatnim jezikom pišemo na sljedeći način:
Dobri(ljudi, prijatelji)
Kao što je vidljivo, formula počinje glagolom ili predikatom a u zagradama pišemo subjekte i ostale dodatke predikatu. U zagradama pišemo i objekte, priložne oznake itd.
Za zapisivanje formula u predikatnom načinu, potrebno je osnovno poznavanje službe riječi unutar rečenice. Jasnije rečeno, trebamo znati što je nešto subjekt a što predikat, objekt itd.
Primjer:
Ivan piše pismo Maji iz Zagreba.
Sud je koji možemo izraziti i na način Piše(Ivan, pismo, Maja, Zagreb)
Pojmovi unutar zagrada nazivaju se argumenti i moguće ih je imati neograničen broj.
No, što činimo kada imamo kvantifikatore, svi, neki?
Predikatna logika je specifična po tome što zapisuje i kvantifikatore jer sudovi poput:
Neki lingvisti nisu dobri nisu isti kao nijedan lingvist nije dobar. Zbog toga, predikatna logika zapisuje i kvantifikatore. Bez kvantifikatora dobili bismo Nisu-Dobri(lingvisti) u oba slučaja iako znamo da im je značenje različito. S kvantifikatorima razlika je očita Svi-Nisu-Dobri(lingvisti) i Neki-Nisu-Dobri(lingvisti).
Kvantifikator svi pišemo = ∀ (obrnuto a)
Kvantifikator neki pišemo = ∃ (naopako e)
Prevođenje s prirodnog na predikatni jezik
Predikatni jezik na prirodni jezik gleda kao na izraze sa određenim svojstvima ili na izraze koji opisuju odnos pojmova u sudu.
Postoje dva tipa predikata – glagolski predikat i imenski predikat. Glagolski predikati su oni predikati koji imaju glagol i prema potrebi vezani su uz pomoćni glagol (je/su/ću).
Imenski predikat ima imenicu ili pridjev uz pomoćni glagol.
Glagolski predikat predstavlja odnos između subjekta i ostatka rečenice te u pravilu glagolski predikat prenosi radnju na ostatak rečenice. Npr. Sokrat trči u Atenu; Majstor farba zid; Ivica je volio Maricu itd.
Imenski predikat bolje definira subjekt. Npr. Sokrat je jako pametan; ti si osjetio hladnu kišu.
Ovakva distinkcija može nam pomoći u prevođenju sudova s prirodnog jezika u jezik predikatne logike.
Kada smo odredili predikat i tip predikata, započinjemo tražiti subjekt te ostale dijelove rečenice.
U sudu Aristotel je čovjek imamo:
Imenski predikat je čovjek (dakle samo definira svojstvo). Kada bismo pisali punim nazivom, onda bismo zapisali kao što smo pisali i na početku ovog poglavlja Čovjek(Aristotel). No, probajmo, u stilu matematike i propozicijske logike, konkretan sud podignuti na veći nivo apstraktnosti koristeći samo simbole. Možemo napisati npr. Č(a) – asocijativno bismo mogli razumjeti da je moguće da je riječ o predikatu je čovjek i da se odnosi na subjekt Aristotel. Ovakav izraz možemo podignuti na još općenitiji izraz koristeći tipičnu simboliku propozicijske logike. Tako možemo zapisati H(x). Veliko početno slovo označava predikatnu konstantu. Ona može biti predikat ILI imenica, zamjenica itd. ako je sud izrečen samo imenskim predikatom.
Predikatne konstante pišu se velikim početnim slovom i u pravilu označavaju prvo slovo predikata. Malo slovo x jest individualna varijabla i kao takva ona može biti bilo koji subjekt. Individualne varijable mogu biti x, y, z ili xy, y1 itd. Konkretna, individualna varijabla ili individualna konstanta može biti bilo koje slovo abecede pisano malim slovom. Obično, početno slovo označava prvo slovo subjekta. Kao i sa individualnim varijablama i individualne konstante mogu imati broj uz slovo.
Kada imamo samo jedan argument uz predikat (dakle samo jednu individualnu varijablu/konstantu), tada je riječ o jednovalentnom sudu. Analogno tomu, više argumenta predstavlja n-valentni sud (dvovalentni, trovalentni itd.). U praksi to sve izgleda otprilike ovako:
Za početak, konstruiramo sud na predikatan način a zadržavajući pune izraze pojmova.
Je-čovjek(Aristotel).
Ovaj korak nam je bitan jer nam označava koliko argumenata tj, koliko ćemo varijabli imati. S obzirom da je jedna varijabla, tada
Aristotel = A(x)
Je čovjek = Č(x)
U predikatnoj logici, svaki pojam mora biti definiran. Npr. sintagma lijepi auto također se mora razložiti na lijepi i auto pa onda tek formulom spojiti.
A(x) čitamo x ima svojstva A. Malo x rekli smo da predstavlja individualnu varijablu koja može biti bilo što. Kada umjesto x stavimo npr. Aristotel, onda ona postaje individualna konstanta.
Stoga, ako imamo A(x=Aristotel) mi čitamo Aristotel ima svojstva Aristotela. Malo je neobično i kontraintuitivno tako čitati no kada promatramo iskaz Aristotel je čovjek, mi u biti kažemo u skraćenoj verziji sljedeće: za svakoga tko ima svojstva Aristotela jest Aristotel.
Ta svojstva jesu izgled Aristotela, ime, godine, inteligencija itd. S obzirom da je pisano A(x), mi možemo za x staviti Pero pa pročitati Pero ima svojstva Aristotela. Tako je već razumljivije.
Isti princip je i sa Č(x), dakle čitali bismo x ima svojstvo Č(ovjeka) pa umjesto x možemo staviti bilo koje ime. No takvo razumijevanje vrijedi samo za imenske predikate. Glagolski predikati definirani su sami po sebi predikatnom konstantom (dakle nekim velikim slovo).
Nakon što smo kreirali svoj posebni rječnik, sada tražimo kvantifikatore – sve ili neki. Ako se sjećamo iz pojmovne logike – naoko nekvantificirani sudovi su u biti univerzalni. U tom smislu sud Aristotel je čovjek je isto što ako je istina da za svaki x vrijedi da ima svojstvo Aristotela, tada vrijedi da x ima svojstva čovjeka.
Ili na jeziku predikatne logike
∀(x)(A(x) → Č(x))
Mogli bismo se upitati, zbog čega implikacija? Da bismo bolje objasnili, moramo se poslužiti teorijom skupova.
Gore navedenu formulu možemo napisati i na sljedeći način. ∀(x) ∈ F A(x) → Č(x). Formulu čitamo: za svaki x koji je element domene F vrijedi ako je istina da x ima svojstva A-a, tada vrijedi da x ima svojstva Č-a.
Ili za svaki element Aristotel u domeni F koja je ljudi, vrijedi ako je istina da Aristotel ima svojstava Aristotela, tada Aristotel ima svojstva čovjeka.
Kada bismo napisali, što vrlo često padne napamet, umjesto implikacije konjunkciju ∀(x) ∈ F A(x) ∧ Č(x)), onda bismo formulu čitali za svaki element Aristotel u domeni F ljudi vrijedi da Aristotel ima svojstva Aristotela i da je Aristotel čovjek. Pitanje je jesmo li to uistinu htjeli tako reći, jer ovime smo rekli da u domeni ljudi postoji samo Aristotel koji je čovjek.
Kada izražavamo egzistencijalni kvantifikator, tada uključujemo konjunkciju jer se tiče samo jedne stvari unutar široke domene kao što su ljudi. Kada bismo egzistencijalni kvantifikator izrazili implikacijom, imali bismo krivi odgovor jer implikacija može biti istinita kada je antecedent lažan. Dakle, ne bismo imali Aristotela, ali bismo imali konsekvens koji kaže da je Aristotel čovjek a to nije istina.
Kada je univerzalni kvantifikator u pitanju, to bi svejedno bila istina jer iako ne postoji x kao Aristotel unutar neke domene, mi za ta praznu domenu možemo zaključiti da je Aristotel čovjek. Kao što možemo reći da je istinita tvrdnja svi automobili u garaži su upaljenji iako nema niti jedan automobil u garaži. To je tzv. prazna istina koja se odnosi na prazne skupove iz kojih možemo zaključiti bilo što.
Stvar je u tome da je prirodni jezik jezgrovit i pretpostavlja jako puno toga. Kao što smo rekli, Aristotel je čovjek znači da: za svakoga sa svojstvima kao Aristotel (pod uvjetom ili ako je istinit), vrijedi da je čovjek. Složili bismo se sa svime iz druge rečenice, i ona kao takva nije niti gramatički kriva, niti je neistinita, no vrlo je jezično neekonomična. U sustavu predikatne logike ne smije biti nedorečenosti, ništa se ne smije podrazumijevati, pa je u tom smislu ekonomičnost manje važna.
U primjeru:
Svi muškarci vole jesti neki kruh, imamo sljedeće:
Vole = V() – puštamo za početak prazno jer je riječ o glagolu koji opisuje odnose dvaju ili više elemenata pa prvo trebamo definirati varijable, tj. napisati.
Muškarci = M(x)
Kruh= K(y)
Vole = V(x, y) – Kada smo otkrili da je predikat sastavljen od glagola voljeti, tada smo saznali da je sud izrečen tako da opisuje odnos ili relaciju između dvaju ili više elementa. Međutim, tek kada smo definirali ostale varijable, mogli smo do kraja zapisati odnos voljenja muškarca i kruha.
∀(x) ∃(y)( M(x) → ( K(y) ∧ V(x, y) ) )
Prijevod: Za svako svojstvo x i za neko svojstvo y vrijedi ako je istina da x ima svojstva M-a onda, y ima svojstva K-a te V-u x i y pripadaju.
Za svaki x koji je muškarac i za neki y koji je kruh vrijedi ako je istina da muškarac ima svojstva muškarca onda, kruh ima svojstva kruha (i) te voli varijabla x koji je muškarac varijablu y koja je kruh.
Iako nije zadano, no varijabla x je mogla biti ime muškarca, pa bi rečenica mogla ići
Za svaki x koji je Ivica i za neki y koji je kruh iz dućana, vrijedi ako je istina da Ivica ima svojstva muškarca , onda kruh iz dućana ima svojstva kruha te voli Ivica kruh iz dućana.
Moguća procedura koja je u biti samo pokušaj prevođenja:
- Razlomi višesložnu rečenicu s više glagola na odvojene rečenice.
- Razlomi jednosložnu rečenicu na više rečenica AKO rečenica u sebi ima imenicu ili pridjev koja dodatno pojašnjava subjekt ili predikat. (Iskaz Marko je naporno trenirao = Marko je naporno i Marko je trenirao)
- Saznaj označava li predikat relaciju ili pridodaje svojstva subjektu. (Iskaz za primjer dodavanja svojstva: Marko je dobar = Dobar(Marko). Iskaz za primjer relacije: kocka je iza piramide i kugle = Iza(kocka, piramide i kugle). Relacija obično označava mogućnost više individualnih varijabli/konstanta, dakle neće biti samo x u P(x), možda P(x, y …)).
- Označi pojmove koji su dio nekog drugog pojma (Svi ljudi su dobri = svi iz pojma/skupa ljudi su u skupu dobri = Dobri(ljudi). Ili Neki kišobran je iza nekog plavog stola = Nešto iz skupa Kišobran je dio skupa Plavi stol a skup Plavi je u skupu stol)
- Kada znamo odnose među pojmovima (skupovima), možemo ih kodirati u varijable (Kišobran(x), Stol(x) zato što je Kišobran koji može biti x u stolu, a Plavi je Plavi(x) zato što je skup Plavi u uniji (jedan u drugome) sa skupom Stol.
- Konačni izraz: ∃(x)(L(x) & D(x)) → M(x))
Provjeravanje istinitosti
Istinitost premisa i konkluzija u predikatnoj logici ne može se provjeriti istinitosnim tablicama jer u teoriji postoji neograničen broj konstanti za individualne varijable. U tom smislu, u teoriji ih je nemoguće sve provjeriti. Predikatna logika služi se traženjem istinitosti kroz stablo istinitosti.
Stablo istinitosti pokušava potvrditi negaciju konkluzije pod pretpostavkom da su premise sve istinite. Ako se potvrdi ta pretpostavka da su sve premise istinite a konkluzija lažna, tada je argument nevaljan jer iz istinitih premisa može samo ići istinita konkulzija.
Vrlo često, u predikatnoj logici provjeravanje istinitosti vrši se kroz dokazivanje koje je gotovo identično procesu dokazivanja u propozicijskoj logici samo što isključujemo i uključujemo kvantifikatore. Dakle, pretpostavimo da su sve premise istinite i da je konkluzija lažna. Ako uspijemo to dokazati, argumentacija nije valjana jer je apsurd da iz istinitih premisa slijedi lažni zaključak.