Izbornik
Glavna poglavlja:
- Svrha bloga
- Logika kroz povijest
- Pojmovna logika
- Propozicijska logika
- Predikatna logika
- Logika 2. reda
Igralište
Logika za početnike
3. Uvod u logiku
Propozicijska logika
Autor: Nikola Vujačić
Što je propozicijska logika
Propozicijska logika je logika koja jednostavne sudove sa jednim subjektom i jednim predikatom uzima kao nedjeljivu cjelinu te ih označava jedinstvenim simbolom. Sustav propozicijske logike omogućava izračunavanje valjanosti i dokazivanje konkluzije koristeći samo simbole i pravila za kalkulaciju simbolima.
Propozicijska logika također se zove i iskazna logika, zeroth-order logic, propositional logic ili sentential logic.
Suprotno pojmovnoj logici, propozicijska logika nije zainteresirana za odnose pojmova unutar jednostavnog ili složenog suda. Za nju je također osnovni (jednostavni) sud onaj koji ima jedan subjekt i jedan predikat. No propozicijska logika takav sud dalje ne dijeli i ne proučava veze između subjekta i predikata. Takav su za iskaznu logiku je nedjeljiv i početna točka za uočavanje valjanosti i dokazivosti zaključka.
Dakle sud: čovjek je dobar; označava se jednim slovom, npr. S. Kada imamo dva suda: čovjek je dobar; ljudi su pametni; označavamo sa S;P.
Propozicijska logika, što je ujedno i njena prednost, jednostavno označava i prikazuje složene sudove. Npr: Ako su ljudi dobri, bit će i pametni ali i milosrdni. Milosrđe je poželjno.
Sud 1: Ako su ljudi dobri = D
Sud 2: (Ljudi )Bit će pametni = P
Sud 3: (Ljudi će biti) milosrdni = M
Sud 4: Milosrđe je poželjno = G
Slova su proizvoljno izabrana i kao takva su ispravna. Ako bismo imali dva ista suda, označili bismo ih istim slovom.
Propozicijska logika može prikazati odnose između sudova.
Kada imamo sudove u nizu npr.: svi ljudi su dobri. Sokrat je dobar; takve sudove označimo slovom i odijelimo ih zarezom. S (svi ljudi su dobri), D (Sokrat je dobar).
Logički simboli
Kada imamo sudove:
- Svi ljudi su dobri i Sokrat je dobar; tada označavamo simbolom veznik i koji ih povezuje
= S i D = S ∧ D - Svi ljudi su dobri ili Sokrat je dobar =
S ili D = S ∨ D - Ako su svi ljudi dobri, onda je Sokrat dobar
= Ako S onda D = S → D - Ako i samo ako su svi ljudi dobri, onda je Sokrat dobar
= Akko (nije greška, idu dva k.) S onda D = S ↔ D - Ili su svi ljudi dobri ili je Sokrat dobar
= Ili S ili D = S ⊻ D (može, ali i rijetko S ⊕ D ) - Sokrat nije dobar
= Nije S = ¬S - Zaključak, tj. sintaktička posljedica piše se = ⊢
- (….) = Oble zagrade služe za odjeljivanje sudova, baš kao i u matematici. Stavljanjem zagrada dajemo primat u kalkulaciji onom sudu koji je 'unutar' složenog suda. Npr.( P → (Q ∨ R)) nam nalaže da prvo ustanovimo valjanost/istinitost za sud (Q ∨ R), pa tek onda za P → u odnosu na (Q ∨ R).
- ⊨ Semantička posljedica. Označava se kada dokazujemo istiniti/valjani argument.
- ⊢ = istina
- ⊥ = laž (može biti i slovo F)
Sintaksa se bavi propisivanjem pravilnih simbola te određuje pravila za njihovo slaganje (gramatika sustava).
Semantika unutar propozicijske logike bavi se značenjem tj. istinitosti pa time i valjanosti sudova.
U pojmovnoj logici nevaljan argument može biti slučajno istinit ali kao takav nije zadovoljavajući. Sustav propozicijske logike provjerava valjanost sudova na način da pretpostavi sve moguće kombinacije istinitosti unutar nekog argumenta ili složenog suda. Ako postoji slučaj gdje su premise istinite a konkluzija lažna, tada taj argument nije valjan jer formalno nije moguć.
Istinitost sudova provjerava se putem istinitosnih tablica. Primjerice imamo sud: čovjek je dobar ili pametan = P ∨ Q. Je li sud istinit provjeravamo tako da pretpostavimo istinitost i neistinitost za propozicije P i Q u sudu P ∨ Q.
Sud P ∨ Q istinit je u slučajevima kada su jedna ili obje propozicije istinite. Ako su obje lažne, sud P ∨ Q nije istinit. Konkretno bi to značilo da sud: čovjek je dobar ili pametan može biti kao takav, dakle cjelovit, istinit kada je istina da je dobar i pametan ili kada je ili dobar ili pametan.
Istinitosne tablice
Kroz istinitosne tablice možemo provjeriti je li iskaz valjan ili nije. Dolje navedene istinitosne tablice, prikazane su samo u kombinaciji sa dva suda. One mogu odrediti istinitost složenog suda sa više od dva jednostavna suda u kombinaciji. Koristimo ih tako da pretpostavimo sve moguće kombinacije u kojem jedan sud npr. P može biti u odnosu sa drugim sudom Q. Navedene istinitosne tablice nam pomažu kako riješiti složene formule jer u biti mi svaki složeni izraz rješavamo dio po dio počevši “iznutra“ prema „vani“.
Naprosto slijedimo zagrade. Oni izrazi koji su „najviše unutra“, njih prvo i rješavamo. Kada imamo izraz (((P ∨ Q) V (R ∨ Q))), slijedeći princip „iznutra“ prema „vani“, najprije provjeravamo istinitost (P ∨ Q), zatim (R ∨ Q), te (K). Potom provjeravamo disjunkciju između ((P ∨ Q) V (R ∨ Q)). Za svaki odnos možemo napraviti zasebnu tablicu ili možemo pokušati sve kombinacije unijeti u jednu.
Kada radimo istinitosnu tablicu, za svaki jednostavni sud moramo pretpostaviti u kojoj sve kombinaciji može biti istinit ili lažan. Ako imamo tri jednostavna izraza P, Q, R, tada znamo da postoje sveukupno 23 kombinacija istine i laži, odnosno 8 kombinacija. Brojka 2 predstavlja varijablu koja može biti istina ili laž, a broj 3 broj izraza.
Primjer:
| P | Q | R | P ∨ Q | R ∨ Q | (P ∨ Q) v (R ∨ Q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T | T |
| T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | T | T |
| F | F | T | F | T | T |
| F | F | F | F | F | F |
Pravila:
| P | Q | P ∧ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
| P | Q | P ∨ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
| P | Q | P → Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
| P | Q | P ↔ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
| P | Q | P ⊻ Q |
|---|---|---|
| T | T | F |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
Tautologija, kontigencija, apsurd
Kada imamo slučaj da iz svih premisa, koliko god ih ima, slijedi istinit zaključak, tada kažemo da je riječ o tautologiji. Kada imamo situaciju u kojoj barem jedna kombinacija premisa daje lažnu konkluziju, tada kažemo da je zaključak kontigentan. No, kada imamo situaciju u kojoj su sve premise istinite a konkluzija lažna, tada imamo kontradikciju ili apsurd jer po sustavu propozicijske logike iz istine ne može proizići laž. U tom smislu, i da su ostale kombinacije polučile istinitosnu konkluziju, argument nije valjan jer postoji moguća kontradikcija.
Dokazivanje
Dokazivanje u propozicijskoj logici je formalni proces u kojem demonstriramo uzročno-posljedičnu vezanost premisa i konluzije.
Ne nužno, no u principu dokazivanje je treća faza unutar propozicjske logike.
- Faza – prevođenje iz prirodnog jezika u logički jezik
Jedna propozicija je ona propozicija koja ima jedan predikat i jedan subjekt. Na tom principu označavamo cijeli argument.
Npr:
Danas je kiša padala i jako je hladno. Stoga bi bilo najbolje otići kući.
A = Danas je kiša padala
B = (Danas) je jako hladno
⊢ C = Najbolje bi bilo otići kući
Konačni sintaktički izraz:
A ∧ B ⊢ C
Ovako ispravno formuliuran izraz zove se i well-formed formula jer je pisan po gramitičkim pravilima propozicijske logike. Ne bi išlo ∧ A B ⊢ C.
Vrlo često se znaju staviti obla zagrade. Nužne su kada je složen sud jer nam zagrade sugeriraju koji izraz prvo trebamo istinitosno provjeriti.
- Provjeravanje istinitosti
A ∧ B ⊨ C
- Dokazivanje
U iskaznoj logici dokazivanje se izvodi na različite načine. Postoje različiti sustavi, mi koristimo trenutačno Lemmonov sustav tzv. L. system koji je dobio ime po logičaru Edwardu Johnu Lemmonu.
Dokazivanjem pokazujemo da zaključak slijedi iz premisa. To nam je i cilj dokazivanja.
Primjer:
A ∧ B ⊢ C
- A ∧ B A (assumption/pretpostavka)
- C A (assumption/pretpostavka)
- C 2 (preuzeto iz linije 2)
Ovim postupkom smo dokazali da je gore navedeni izraz dokazan. Jasno, postoje složeniji izrazi koji uključuju deset glavnih pravila.
- The Rule of Assumption (A)
- Modus Ponendo Ponens (MPP)
- Modus Tolendo Tollens (MTT)
- The Rule of Double Negation (DN)
- The Rule of Conditional Proof (CP)
- The Rule of ∧-introduction (∧i)
- The Rule of ∧-elimination (∧E)
- The Rule of ∨-introduction (∨i)
- The Rule of ∨-elimination (∨E)
- Reductio Ad Absurdum (RAA)
Koristeći gore pravila, omogućava nam se da iz složenog suda npr. A → B možemo izvući B i to služeći se pravilom MPP-a.
MPP:
- A → B
- A
- ----------------------------
- ∴ B
Za svaki složeni sud (disjunktivni, konjuktivni, hipotetski, bikondiocionalni) postoje pravila kojima možemo složeni sud svesti na neki jednostavniji oblik. Isto, jednostavne sudove možemo spojiti u složene koristeći specifična pravila.
Sustav propozicijske logike također dopušta transformaciju složenog suda. Npr. sud A → B može se izraziti kao ¬A V B. Riječ je o logičkim ekvivalencijama.
Više o tome može se vidjeti u Lemmonovoj knjizi Beginnig Logic. Ovdje možete pogledati podrobnije objašnjnje pravila dokazivanja.